Из точки, находящейся на расстоянии 16 см от прямой, провели к ней две наклонные, образующие с прямой углы 30 и 60 градусов. Найти длины наклонных и их проекций на прямую.

Пусть из точки A провели две наклонные AB и AC к прямой, ∠ABC = 30°, ∠ACB = 60°, AH = 16 см - расстояние от точки А до прямой.

1. Рассмотрим △BHA: ∠BHA = 90° (так как AH - перпендикуляр). Таким образом, △BHA - прямоугольный: AB - гипотенуза, BH и AH = 16 см - катеты, ∠ABH (он же ∠ABC) = 30°.

Так как катет AH лежит напротив угла, равного 30°, то он в 2 раза меньше гипотенузы AB, значит:

AB = 2AH = 2*16 = 32 (см).

По теореме Пифагора:

BH = √ (AB² - AH²) = √ (32² - 16²) = √ (1024 - 256) = √768 = 16√3 (см).

2. Рассмотрим △CHA: ∠CHA = 90° (так как AH - перпендикуляр). Таким образом, △CHA - прямоугольный: AC - гипотенуза, CH и AH = 16 см - катеты, ∠ACH (он же ∠ACB) = 60°.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠CHA + ∠HAC + ∠ACH = 180°;

90° + ∠HAC + 60° = 180°;

∠HAC = 180° - 150°;

∠HAC = 30°.

Так как катет CH лежит напротив угла, равного 30°, то он в 2 раза меньше гипотенузы AC.

По теореме Пифагора:

AC² = AH² + CH²;

AC² = 16² + CH²;

AC² = 256 + CH²;

Обозначим AC как x, а CH как x/2, тогда:

x² = 256 + (x/2) ²;

x² = 256 + x²/4;

x² - x²/4 = 256;

(4x² - x²) / 4 = 256;

3x²/4 = 256;

3x² = 4*256;

x² = 1024/3;

x = √ (1024/3);

x = 32/√3 = 32√3 / 3.

Таким образом:

AC = x = 32√3 / 3 см;

CH = x/2 = (32√3 / 3) / 2 = 32√3 / 6 = 16√3 / 3 (см).

Ответ: наклонная AB = 32 см, ее проекция BH = 16√3 см; наклонная AC = 32√3 / 3 см, ее проекция CH = 16√3 / 3 см.