Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Под каким углом виден каждый катет из центра окружности, описанной около данного треугольника?

Пусть △АВС вписан в окружность с центром в точке О, ∠С = 90°, ∠А = 30°, АВ - гипотенуза, АС и ВС - катеты.

1. По теореме о сумме углов треугольника:

∠А + ∠В + ∠С = 180°;

30° + ∠В + 90° = 180°;

∠В = 180° - 120°;

∠В = 60°.

2. Так как ∠С равен 90°, то он опирается на дугу, равную 180° (вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается). Дугу, равную 180°, стягивает диаметр, таким образом, диаметр окружности является и гипотенузой АВ △АВС. Точка О делит АВ пополам на два радиуса: ОА = ОВ.

Из точки О проведем отрезок к точке С: ОС - радиус, поэтому ОА = ОВ = ОС.

3. Рассмотрим △АОС: ОА = ОС ⇒ △АОС равнобедренный, а ∠САО и ∠АСО - углы при основании АС.

∠САО (он же ∠А) = ∠АСО = 30°.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠САО + ∠АОС + ∠АСО = 180°;

30° + ∠АОС + 30° = 180°;

∠АОС = 180° - 60°;

∠АОС = 120°.

Таким образом, катет АС из центра окружности О виден под углом 120°.

4. Рассмотрим △СОВ: ОС = ОВ ⇒ △СОВ равнобедренный, а ∠ОСВ и ∠ОВС - углы при основании ВС.

∠ОСВ = ∠ОВС (он же ∠В) = 60°.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠ОСВ + ∠СОВ + ∠ОВС = 180°;

60° + ∠СОВ + 60° = 180°;

∠СОВ = 180° - 120°;

∠СОВ = 60°.

Таким образом, катет ВС из центра окружности О виден под углом 60°.

Ответ: ∠АОС = 120°, ∠СОВ = 60°.