докажите, что в равностороннем треугольнике равны все его медианы, биссектрисы, высоты

Признаком равностороннего треугольника является равенство всех его сторон. Такое возможно только в том случае, если все углы треугольника при вершинах также равны между собой.

Высота - это перпендикуляр, прочерченный из вершины треугольника к его основанию. Если опустить его из вершины равностороннего треугольника, то линия высоты разделит угол при вершине пополам. То есть линия высоты будет одновременно и биссектрисой угла при вершине.

Кроме того, если угол при вершине поделен этой линией пополам, то сама линия пересечет основание ровно на ее середине. Значит линия высоты будет являться также и медианой.

Какую бы мы сторону равностороннего треугольника не принимали за основание, картина всегда будет одной и той же.