Треугольник ABC-прямоугольный. точка K-середина гипотенузы AB. через точку K проведена прямая пемпендикульрная гипотинузе которая пересекает катет AC в точки N. если KN=2.5 СМ AN=5 см. найдите катет АС.

1. Рассмотрим треугольник AKN: угол AKN = 90 градусов (так как KN - перпендикуляр к АВ), AN = 5 см - гипотенуза (так как лежит напротив прямого угла), KN = 2,5 см - катет. Найдем катет АК по теореме Пифагора:

АК = √ (AN^2 - KN^2);

АК = √ (5^2 - 2,5^2) = √ (25 - 6,25) = √18,75 = √ (1875/100) = 2,5√3 (см).

2. По условию К - середина АВ, тогда АК = КВ = АВ/2. Найдем АВ:

АК = АВ/2;

АВ/2 = 2,5√3;

АВ = 2,5√3 * 2;

АВ = 5√3 см.

3. В треугольнике AKN найдем градусную меру угла А / Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sinA = KN/AN;

sinA = 2,5/5 = 5/10 = 1/2;

угол А = 30 градусов.

4. В треугольнике АВС угол А = 30 градусов. В прямоугольном треугольнике напротив угла равного 30 градусов лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы. Тогда:

ВС = АВ/2;

ВС = 5√3 / 2 = 2,5√3 (см).

5. В треугольнике АВС найдем АС по теореме Пифагора:

АС = √ (АВ^2 - BC^2);

АС = √ ((5√3) ^2 - (2,5√3) ^2) = √ (25*3 - 6,25*3) = √ (75 - 18,75) = √56,25 = √ (5625/100) = 75/10 = 7,5 (см).

Ответ: АС = 7,5 см.