В правильной треугольной призме ABC A1B1C1 сторона основания равна 2, а высота равна 3. Найдите угол между плоскостями ABC и A1BC.

Угол между плоскостями ABC и A1BC - это угол между высотой треугольника АВС АН и высотой треугольника A1BC А1 Н.

1. Рассмотрим треугольник АВС: АВ = ВС = АС = 2. Высота правильного треугольника находится по формуле:

h = а√3 / 2,

где а - длина стороны правильного треугольника.

АН = 2√3 / 2 = √3.

2. Рассмотрим треугольник А1 АН: угол А1 АН = 90 градусов, А1 А = 3 и АН = √3 - катеты, А1 Н - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

А1 Н = √ (А1 А^2 + AH^2) = √ (3^2 + (√3) ^2) = √ (9 + 3) = √12 = 2√3.

3. Мы видим, то катет АН в 2 раза меньше гипотенузы А1 Н, тогда он лежит напротив угла, равного 30 градусов (свойства прямоугольного треугольника). Так как АН лежит напротив угла АА1 Н, то угол АА1 Н = 30 градусов.

По теореме о сумме углов треугольника:

угол АА1 Н + угол А1 АН + угол АНА1 = 180 градусов;

30 + 90 + угол АНА1 = 180;

угол АНА1 = 180 - 120;

угол АНА1 = 60 градусов.

Ответ: угол АНА1 = 60 градусов.