Докажите, что биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Может ли этот треугольник быть еще и равносторонним

1. Пусть дан параллелограмм ABCD: AK - биссектриса ∠A, таким образом, ∠BAK = ∠DAK = ∠A/2.

Так как прямые AD и BC параллельны, то прямая AK является секущей, пересекающей две параллельные прямые, тогда ∠DAK = ∠BKA как накрест лежащие углы.

В △ABK ∠BAK = ∠BKA, следовательно, △ABK - это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами BA и BK и основанием AK, что и требовалось доказать.

2. Треугольник, отсекаемый от параллелограмма биссектрисой внутреннего угла, может быть равносторонним (правильным) в том случае, если биссектриса опущена из угла, равного 120°.

Пусть ∠A = 120°, тогда:

∠BAK = ∠DAK = ∠A/2 = 120°/2 = 60°.

∠DAK = ∠BKA = 60° как накрест лежащие.

В △ABK ∠BAK = ∠BKA = 60°.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠BAK + ∠ABK + ∠BKA = 180°;

60° + ∠ABK + 60° = 180°;

∠ABK = 180° - 120°;

∠ABK = 60°.

Таким образом, в △ABK все углы равны 60°, значит, он равносторонний.