Отрезки АВ и СД пересекаются в точке О. СО = ОД, ⦟ ВСД = ⦟ СДА. Докажите, что АД = СВ.

По условию задачи точка пересечения O делит отрезок CD пополам:

|CO| = |OD|;

Соединим точку B с точкой C и точку A с точкой D. Зная, что образовавшиеся углы ∠BCD и ∠CDA равны между собой, надо доказать, отрезки BC и AD также равны друг другу:

|BC| = |AD|

Параллельность прямых (BC) и (AD)

Как известно, две прямые (a) и (b) на плоскости являются параллельными, если они нигде не пересекаются друг с другом. Возьмем третью прямую (c), которая их пересекает. Одним из признаков параллельности прямых (a) и (b) является равенство накрест лежащих углов, образованных секущей (c).

В нашем случае две прямые (BC) и (AD) пересекаются с секущей прямой (CD). В результате, образуются накрест лежащие углы ∠BCD и ∠CDA. По условию задачи, эти углы равны между собой. Исходя из признака параллельности прямых, (BC) и (AD) являются параллельными.

Равенство отрезков BC и AD

Вертикальные углы при пересечении прямых (AB) и (CD) равны между собой. В нашем случае:

∠BOC = ∠AOD

Заметим, что в треугольниках AOD и BOC:

стороны CO и OD и углы ∠BCD и ∠CDA равны между собой по условию задачи; внутренние углы ∠BOC и ∠AOD равны, являясь вертикальными; углы ∠CBO и ∠OAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых.

Все углы и одна из сторон треугольника AOD равны соответствующим углам и стороне треугольника BOC. Согласно одному из признаков равенства треугольников, это означает, что треугольники BOC и AOD равны между собой. Тогда сторона BC равна стороне AD, что и требовалось доказать.

Дано:

отрезки АВ и СД,

точка О - точка пересечения отрезков АВ и СД,

СО = ОД,

угол ВСД = углу СДА.

Доказать, что АД = СВ.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник АОД и треугольник СОВ. Угол АОД = углу СОВ, так как эти углы являются вертикальными углами. Угол ВСД = углу СДА и СО = ОД по условию задачи. Следовательно треугольник АОД = треугольнику СОД по стороне и двум прилежащим углам. Тогда АД = ВС. Что и требовалось доказать.