в равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС=40 см., АС=20 см. на стороне ВС отмечена точка Н так, что ВН: НС = 3:1. найдите АН.

Рассмотрим треугольник ΔАНС.

Для того чтобы найти длину отрезка АН, воспользуемся формулой длины через две стороны и угол между ними:

a = √b² + c² - 2 · b · c · cos α.

Для этого нам нужно найти длину отрезка НС и ∠С.

Так как отношение ВН / НС = 3 / 1, то

НС = х;

ВН = 3 х;

ВС = 40;

х + 3 х = 40;

4 х = 40;

х = 40 / 4 = 10 см.

НС = 10 см;

ВН = 10 · 3 = 30 см.

Для того чтобы найти cos С в треугольнике ΔАВС, проведем высоту ВК из угла В. За теоремой косинусов, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos С = КС / ВС;

Так как треугольник равнобедренный, то отрезок КС равен половине отрезка АС:

КС = АС / 2;

КС = 20 / 2 = 10 см;

cos С = 10 / 40 = 0,25.

Теперь найдем длину отрезка АН в треугольнике ΔАНС:

АН = √НС² + АС² - 2 · НС · АС · cos С;

АН = √10² + 20² - 2 ∙ 10 ∙ 20 ∙ 0,25 = √100 + 400 - 100 = √400 = 20 см.

Отвнт: длина отрезка АН равна 20 см.