В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 100, а угол, лежащий напротив, равен 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Дан △ABC: ∠C = 90°, ∠A = 60°, BC = 100 - катет, AB - гипотенуза.

1. По теореме о сумме углов треугольника:

∠A + ∠B + ∠C = 180°;

60° + ∠B + 90° = 180°;

∠B = 180° - 150°;

∠B = 30°.

2. В прямоугольном треугольнике катет, который лежит напротив угла, равного 30°, равен половине гипотенузы, тогда:

AC = AB/2.

По теореме Пифагора:

AB² = AC² + BC²;

AB² = (AB/2) ² + 100²;

AB² = AB²/4 + 10000;

AB² - AB²/4 = 10000;

(4 * AB² - AB²) / 4 = 10000;

(3 * AB²) / 4 = 10000;

3 * AB² = 40000;

AB² = 40000/3;

AB = √ (40000/3);

AB = 200 / √3;

AB = (200 * √3) / 3.

3. Найдем AC:

AC = AB/2 = (200 * √3) / 3 : 2 = (200 * √3) / 3 * 1/2 = (100 √3) / 3.

4. Найдем площадь:

S = (AC * BC) / 2 = ((100 √3) / 3 * 100) : 2 = (10000 √3) / 3 * 1/2 = 5000 √3 / 3.

Ответ: S = 5000 √3 / 3.