В треугольнику АВС медиана АМ в четыре раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 60 градусов. найдите угол МАС

Медиана разбивает треугольник на два треугольника с равными площадями.

Поэтому Sabm = Samc (1), Sabc = 2 * Sabm (2).

Пусть АВ = х, тогда АМ = х/4.

Из (1) следует:

½ * АВ * АМ * sin60 = ½ * АC * АМ * sinα, где α = угол МАС.

½ * х * х/4 * √3/2 = ½ * АC * х/4 * sinα.

АС = (√3 * х) / (2 * sinα).

Из (2) следует:

½ * АВ * АС * sin (60 + α) = 2 * ½ * АВ * АМ * sin60.

АС * sin (60 + α) = 2 * АМ * sin60.

(√3 * х) / (2 * sinα) * sin (60 + α) = х/2 * √3/2.

1/sinα * sin (60 + α) = 1/2.

2 * sin (60 + α) - sinα = 0.

2 * sin60 * cosα + 2 * sinα * cos60 - sinα = 0.

2 * √3/2 * cosα + sinα - sinα = 0.

√3 * cosα = 0.

α = угол МАС = 90º.