Сумма двух сторон треугольника равна 16 см, а угол между ними - 120°. Найдите меньшую из этих сторон, если третья сторона треугольника равна 14 см.

Пусть дан треугольник АВС, со сторонами АВ, ВС, АС, угол <В=120°, АВ+ВС=16 см, АС=14 см.

Тогда АВ=16-ВС.

Согласно теореме косинусов:

АС²=АВ²+ВС²-2 АВ*ВС*cosB, подставив числа имеем:

14²=АВ²+ВС²-2 АВ*ВС * (-1/2).

169=АВ²+ВС²+АВ*ВС.

Подставим в это выражение АВ:

169=АВ²+ВС²+АВ*ВС = (16-ВС) ²+ВС² + (16-ВС) * ВС.

169=256-32*ВС+ВС²+ВС²+16*ВС-ВС².

ВС²-16*ВС+60=0.

Решим квадратное уравнение:

D = (-16) ²-4*1*60=16.

x1=16-√16/2*1=16-4/2=6 см.

x2=16+√16/2*1=16+4/2=10 см.

Оба корня нас удовлетворяют, тогда подставим оба варианта и найдем недостающую сторону:

АВ=16-ВС=16-6=10 см, или АВ=16-ВС=16-10=6 см.

Оставшиеся стороны треугольника равны 6 и 10 см.

Ответ: меньшая сторона 6 см.