Точка М лежит внутри угла, равного 60 градусов. Расстояние от точки М до каждой из сторон угла равного 5 см. Найдите расстояние от точки М до вершины угла

Пусть дан угол величиной α с вершиной в точке А. Возьмем точку M внутри этого угла и проведем перпендикуляры MK и ML из этой точки к сторонам угла. По условию задачи:

α = 60°;

|MK| = |ML| = h = 5 (см);

Соединим точку M с вершиной угла A. В задаче требуется вычислить длину l отрезка MA, l = |MA|.

Равенство прямоугольных треугольников

Рассмотрим два треугольника - MKA и MLA. Эти треугольники:

являются прямоугольными, т. к. MK ⊥ AK и ML ⊥ AL, и ∠MLA = ∠MKA = 90°; имеют общую одинаковую гипотенузу MA; имеют равные по длине катеты MK и ML, |MK| = |ML|.

Используя теорему Пифагора применительно к каждому из этих треугольников, находим длину катетов AK и AL:

|AK| = √ (|MA|² - |MK|²) = √ (b² - h²);

|AL| = √ (|MA|² - |ML|²) = √ (b² - h²);

Получаем одинаковый результат, |AK| = |AL|, и это означает, что все три стороны прямоугольного треугольника MKA равны соответствующим трем сторонам треугольника MLA, и, следовательно, треугольники MKA и MLA являются равными.

Вычисление расстояния |MA|

Поскольку треугольники MKA и MLA равны, то:

∠MAL = ∠MAK;

Учитывая, что:

∠MAL + ∠MAK = α;

получаем:

∠MAL = ∠MAK = α / 2 = 60° / 2 = 30°;

Как известно, в прямоугольном треугольнике отношение катета к гипотенузе равняется синусу противолежащего катету угла. Соответственно, получаем:

|MK| / |MA| = sin (∠MAK);

h / l = sin (α / 2);

h = l * sin (α / 2);

Далее, вычисляем искомое расстояние:

l = h / sin (α / 2);

l = 5 / sin (30°) = 5 / (1/2) = 10 (см);

Ответ: расстояние от точки M до вершины угла равно 10 см.

Пусть дан ∠A, MB = MC = 5 см. Необходимо найти AM.

Так как расстояние от точки M до каждой стороны ∠A одинаковое, то она лежит на биссектрисе ∠A. Таким образом, △ABM = △ACM, ∠MAB = ∠MAC = ∠A/2 = 60°/2 = 30°.

Рассмотрим △ACM: ∠ACM = 90° (так как расстояние от точки M до стороны ∠A представляет собой перпендикуляр), ∠MAC = 30°, AM - гипотенуза, MC = 5 см и AC - катеты.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла, равного 30°, равен половине гипотенузы.

Катет MC лежит напротив ∠MAC = 30°, следовательно, MC = AM/2.

AM/2 = 5;

AM = 2 * 5 (по пропорции);

AM = 10 см.

Ответ: AM = 10 см.