периметр прямоугольного треугольника равен 24 см., а его площадь 24 см в квадрате. Найдите площадь описанного около этого треугольника круга.

Обозначим катеты данного прямоугольного треугольника a и b, гипотенузу - с.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов:

S = a * b / 2.

Отсюда:

a * b = 2 * S = 2 * 24 = 48 см².

Периметр равен сумме длин всех сторон:

a + b + c = 24;

a + b = 24 - c.

Возведем обе части равенства в квадрат, получим:

(a + b) ² = (24 - c) ²;

a² + b² + 2ab = 576 + c² - 48c.

Поскольку сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то a² + b² = с², значит:

с² + 2ab = 576 + c² - 48c;

с² + 2 * 48 = 576 + c² - 48c;

96 = 576 - 48 с;

48 с = 576 - 96 = 480;

с = 480 / 48 = 10 см - гипотенуза данного треугольника.

Известно, что диаметр описанной около прямоугольного треугольника окружности равен гипотенузе этого треугольника, значит радиус равен половине гипотенузы:

R = c / 2 = 5 см.

Площадь описанного около данного треугольника круга равна:

S = πR² = π * 5² = 25π ≈ 78,54 см².