1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (-6; 1), В (2; 4), С (2; - 2). Доказать, что треугольник АВС равнобедренный. Найдите длину высоты треугольника АВС, проведённую из вершины А.

Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, покажем, что длины двух сторон равны. Для этого найдем координаты векторов АВ, ВС и АС и вычислим длины этих векторов.

Вектор АВ = (2 - ( - 6); 4 - 1) = (8; 3).

Вектор ВС = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6).

Вектор АС = (2 - ( - 6); - 2 - 1) = (8; - 3).

Длина вектора АВ: | AB | = √ (64 + 9) = √73.

| BC | = √ (0 + 36) = √36 = 6.

| AC | = √ (64 + 9) = √73.

| AB | = | AC | = √73.

Треугольник АВС - равнобедренный.

1-й способ.

Пусть АА₁ - высота треугольника, А₁ - середина стороны ВС.

ВА₁ = 1/2 ВС = 1/2 * 6 = 3.

По теореме Пифагора АВ² = АА₁² + ВА₁².

АА₁² = (√73) ² - 3² = 73 - 9 = 64.

АА₁ = 8.

2-й способ.

Вектор АД = АВ + АС = (8 + 8; 3 + ( - 3)) = (16; 0).

АА₁ = 1/2 АД = (8; 0).

| AA₁ | = √ (64 + 0) = √64 = 8.