В трапеции АВСД АВ=СД угол ВДА=54 градуса и угол ВДС=33 градуса найдите угол АВД

Дано:

равнобедренная АВСД,

АВ = СД,

угол ВДА = 54 градуса,

угол ВДС = 33 градуса.

Найдите градусную меру угла АВД - ?

Решение:

1. Угол Д = угол СДВ + угол ВДА;

угол Д = 33 + 54;

угол Д = 87 градусов.

2. Рассмотрим равнобедренную трапецию АВСД. У нее угол Д = углу А = 87 градусов и угол В = углу С. Нам известно, что сумма градусных мер параллелограмма равна 360 градусам. Тогда

угол В + угол С + угол А + угол Д = 360;

угол В + угол С + 87 + 87 = 360;

угол В + угол С + 174 = 360;

угол В + угол С = 360 - 174;

угол В + угол С = 186;

угол В = углу С = 93 градуса.

3. Рассмотрим треугольник АВД.

Угол АВД = 180 - 87 - 54;

Угол АВД = 39 градусов.

Ответ: 39 градусов.

Будем рассматривать трапецию ABCD, основаниями которой являются AD и BC, предполагая, что |AD| > |BC|. Боковыми сторонами трапеции являются AB и CD. Проведем диагональ BD. По условию задачи:

∠BDA = 54°;

∠BDC = 33°;

|AB| = |CD|;

В данной задаче требуется вычислить величину угла ABD.

Углы равнобедренной трапеции ABCD

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны между собой. Это означает, что данная в условии задачи трапеция ABCD является равнобедренной. Основными свойствами углов в равнобедренной трапеции являются:

равенство углов ∠ADC и ∠DAB при нижнем основании трапеции; углы ∠ABC и ∠DCB при верхнем основании трапеции также равны между собой; складывая противолежащие углы получаем 180° или, говоря иначе, ∠DAB + ∠DCB = ∠ADC + ∠ABC = 180°.

Найдем далее угол ABD, рассматривая треугольник DBA.

Вычисление угла ABD

Возьмем треугольник DBA. Сумма его внутренних углов равна 180°:

∠ABD + ∠DAB + ∠BDA = 180°;

Угол ∠DAB равен:

∠DAB = ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 54° + 33° = 87°;

Подставляя в предыдущее соотношение, получаем:

∠ABD + ∠DAB + ∠BDA = ∠ABD + 87° + 54° = 180°;

∠ABD = 180° - 87° - 54°;

∠ABD = 39°;

Сделаем проверку полученного результата. Углы ∠BDA и ∠DBC являются накрест лежащими, и значит:

∠DBC = ∠BDA = 54°;

Из треугольника BCD получаем:

∠DCB = 180° - ∠DBC - ∠BDC = 180° - 54° - 33° = 93°;

Свойством равнобедренной трапеции является равенство суммы углов ∠ABD и ∠DBС углу ∠DCB:

∠ABD + ∠DBC = 39° + 54° = 93° = ∠DCB;

что соответствует полученному решению.

Ответ: искомый угол ABD равен 39°.