В равнобокой трапеции с боковой стороной, равной 3 см, меньшее основание равно 4 см, угол при большем основании 45 градусов. Найти площадь трапеции.

Равнобедренная трапеция - это трапеция, в которой боковые стороны равны: АВ = СД.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = 1 / 2 · (a + b) · h, где:

S - площадь трапеции;

a - меньшее основание;

b - большее основание;

h - высота.

Для этого нужно найти длину большего основания.

Так как отрезок большего основания, расположенный между двумя высотами, равен длине меньшего основания, то:

АД = ВС + АН + КД.

Вычислим АН.

Для этого рассмотрим треугольник ΔАВН.

Воспользуемся теоремой косинусов:

cos А = АН / АВ;

АН = АВ · cos А;

cos 45º = 0,7071;

АН = 3 · 0,7071 = 2,1 см.

Высоту ВН найдем за теоремой Пифагора:

АВ² = ВН² + АН²;

ВН² = АВ² - АН²;

ВН² = 3² - 2,1² = 9 - 4,41 = 4,59;

ВН = √4,59 = 2,1 см.

АД = 4 + 2,1 + 2,1 = 8,2 см;

S = 1 / 2 · (4 + 8,2) · 2,1 = 12,2 / 2 · 2,1 = 12,81 см².

Ответ: площадь трапеции равна 12,81 см².