В равнобокой трапеции меньшее основание равно 6 см, боковая сторона 8 см и угол между боковой стороной и большим основанием 60 градусов. Найти площадь трапеции.

Трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Равносторонней называется трапеция, в которой боковые стороны равны:

АВ = СД.

Площадь трапеции - это произведение полусуммы ее оснований на высоту:

S = (a + b) / 2 · h, где:

S - площадь трапеции;

a - меньшее основание ВС;

b - большее основание АД;

h - высота трапеции ВН.

Для вычисления площади найдем высоту трапеции и длину большего основания. Для этого рассмотрим треугольник ΔАВН.

Для вычисления длины большего основания, найдем отрезок АН. Применим теорему косинусов. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A = АН / АВ;

cos 60º = 1 / 2;

АН = АВ ∙ cos A;

АН = 8 · 1 / 2 = 8 / 2 = 4 см;

КД = АН = 4 см.

Так как отрезок большего основания, расположенный между высотами трапеции, равен длине ее меньшего основания:

НК = ВС;

АД = НК + АН + КД;

АД = 6 + 4 + 4 = 14 см.

Для вычисления высоты ВН применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

АВ² = ВН² + АН²;

ВН² = АВ² - АН²;

ВН² = 8² - 4² = 64 - 16 = 48;

ВН = √48 ≈ 6,9 см.

S = (6 + 14) / 2 ∙ 6,9 = 20 / 2 ∙ 6,9 = 69 см².

Ответ: площадь трапеции равна 69 см².