В шар радиуса 9 вписан прямой круговой цилиндр. Найти высоту цилиндра, при которой его объем является наибольшим.

Пусть x - половина высоты цилиндра и r - радиус цилиндра. Тогда с использованием теоремы Пифагора получаем, что

r^2 = 9^2 - x^2 = 81 - x^2

и объём цилиндра

V = Pi*r^2*2x = Pi * (81 - x^2) * 2x = 2Pi * (81x - x^3).

Находим производную последнего выражения для V:

V' = 2Pi * (81 - 3x^2).

Она обращается в 0 при x = 3, причём при x 3 - меньше нуля. То есть объём цилиндра V достигает наибольшего значения, когда x = 3 см и высота цилиндра равна 6 см.

Ответ: 6 см.