Боковые стороны равнобедренной трапеции при их продолжении пересекаются под углом 120 градусов. Найдите длину меньшего основания трапеции, если её площадь равна 65+25 корней из 3, а высота равна 5.

Обозначим трапецию ABCD, точка пересечения боковых сторон трапеции - точка О, высота ВН.

Из равнобедренного треугольника AOD находим углы при основании:

∠ A = ∠ D = (180° - 120°) / 2 = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. В нём известен угол А = 30°, катет ВН = 5. Находим гипотенузу и второй катет АН.

АВ = 2 * ВН = 10;

АН = √ (AB² - BH²) = √75 = 5√3.

Введём переменную х и обозначим так меньшее основание ВС, тогда основание АD = 5√3 + x + 5√3 = x + 10√3.

Площадь трапеции известна по условию, составляем уравнение.

S = (a + b) / 2 * h = (BC + AD) / 2 * BH = 65 + 25√3.

(x + x + 10√3) / 2 * 5 = 65 + 25√3

5x + 25√3 = 65 + 25√3

5x = 65

x = 13 - меньшее основание ВС.

Ответ: длина меньшего основания равна 13.