Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4 а гипотенуза 50 мм найдите проекции катетов на гипатенузу

Дано:

Прямоугольный треугольник АВС

угол С = 90 градусов

СН - высота

АВ = 50 мм

СА/СВ = 3 : 4.

Найти АН, НВ - ?

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Пусть катет АС = 3 х мм, а катет СВ = 4 х мм. Тогда по теореме Пифагора:

9 х^2 + 16 х^2 = (50) ^2;

9 х^2 + 16 х^2 = 2500;

25 * х^2 = 2500;

х^2 = 2500 : 25;

х^2 = 100;

х = 10;

3 * 10 = 30 мм - катет СА;

4 * 10 = 40 мм - катет СВ;

2) В прямоугольном треугольнике каждый катет - это среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Тогда

ВС = √ (АВ * НВ);

40 = √ (50 * НВ) (возведем правую и левую часть в квадрат);

1600 = 50 * НВ;

НВ = 1600 : 50;

НВ = 32 мм;

АС = √ (АВ * НА);

30 = √ (50 * НА) (возведем правую и левую часть в квадрат);

900 = 50 * НА;

НА = 900 : 50;

НА = 18 мм.

Ответ: 32 миллиметра; 18 миллиметров.