Найдите стороны прямоугольного треугольника, в котором: а) гипотенуза равна 10 см, разность катетов-2 см; б) гипотенуза равна 26 см, а отношение катетов 5:12.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов его катетов.

а) Так как гипотенуза АВ равна 10 см, а катет ВС на 2 сантиметра больше катета АС, то выразим их так:

х - длина катета АС;

х + 2 - длина катета ВС;

х² + (х + 2) ² = 10²;

х² + х² + 2 х + 2 х + 4 = 100;

2 х² + 4 х + 4 = 100;

2 х² + 4 х - 96 = 0;

х² + 2 х - 48 = 0;

D = b² - 4ac;

D = 2² - 2 · 1 · (-48) = 4 - (-192) = 4 + 192 = 196 = 14².

Так как в данном случае может не может быть отрицательного числа, то:

х = (-b + √D) / 2a;

х = (-2 + 14) / 2 = 12 / 2 = 6;

АС = 6 см;

ВС = 6 + 2 = 8 см.

Ответ: катеты равны 6 см и 8 см.

б) Так как гипотенуза равна 26 см, а катеты относятся ка 5:12, то:

5 х - длина катета АС;

12 х - длина катета ВС;

5 х² + 12 х² = 26²;

25 х² + 144 х² = 676;

169 х² = 676;

х² = 676 / 169 = 4;

х = √4 = 2;

АС = 5 · 2 = 10 см;

АВ = 12 · 2 = 24 см.

Ответ: катеты равны 10 см и 24 см.