В треугольнике АВС, АД высота которая делит основание ВС на 2 отрезка-ВД и ДС, ВД=2√3 а ДС = 8 см. угол АВС = 60 градусов. Найти АС и АВ

Даны: △ABC, BD = 2 Sqrt3 см, DC = 8 см, AD - высота, ∠ABC = 60°.

Найти: AB, AC.

Поскольку AD - высота △ABC, значит полученные треугольники ADC и ADB - прямоугольные (∠D = 90°).

Если ∠ABC = 60°, а ∠ADB = 90°, то, исходя из теоремы о сумме углов треугольника:

∠BAD = 180° - (∠ABC + ∠ADB) = 180° - (60° + 90°) = 180° - 150° = 30°.

За свойством прямоугольного треугольника (катет, лежащий напротив угла 30°):

BD = 1/2 AB.

Отсюда:

AB = BD * 2 = 2 Sqrt3 * 2 = 4 Sqrt3 (см).

Теперь, зная гипотенузу, находим катет AD. За теоремой Пифагора:

AB^2 = BD^2 + AD^2.

Отсюда:

AD^2 = AB^2 - BD^2 = (4 Sqrt3) ^2 - (2 Sqrt3) ^2 = (16 * 3) - (4 * 3) = 48 - 12 = 36 (см).

AD = Sqrt36 = 6 (см).

Теперь, зная AD, можем найти AC. За теоремой Пифагора:

AC^2 = AD^2 + DC^2 = 36 + 64 = 100 (см).

AC = Sqrt100 = 10 (см).

Ответ: AB = 4 Sqrt3 см, АС = 10 см.