В параллелограмме ABCD BC:AB = 1:2. Середина М стороны АВ соединина отрезками с вершинами С и D. Доказать, что угол CMD равен 90 градусов

Поскольку |АВ| = 2|ВС| и М - середина АВ, то

|АМ| = |МВ| = |АВ|/2 = |ВС| = |AD|

Соответственно, в треугольнике МВС:

|МВ| = |ВС|,

и МВС - равнобедренный треугольник. Поэтому:

∠ВМС = 90° - ∠В/2

Точно также:

|АМ| = |AD|,

АМD - равнобедренный треугольник, и:

∠АМD = 90° - ∠А/2

Так как:

∠АМD + ∠СМD + ∠ВМС = 180°,

то

∠СМD = 180° - ∠АМD - ∠ВМС = 180° - (90°-∠А/2) - (90°-∠В/2) = (∠А+∠В) / 2

АВСD - параллелограмм, и:

∠А + ∠В = 180°

В результате получаем:

∠СМD = (∠А+∠В) / 2=180°/2=90°,

что и требовалось доказать.