Докажите, что векторы BA и BC перпендикулярны, если A (0; 1), B (2; -1), C (4; 1)

Применяя формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости, находим длины векторов BA, BC и АС:

|BA| = √ ((2 - 0) ^2 + (-1 - 1) ^2) = √ (2^2 + (-2) ^2) = √ (2^2 + 2^2) = √ (4 + 4) = √8;

|BC| = √ ((2 - 4) ^2 + (-1 - 1) ^2) = √ ((-2) ^2 + (-2) ^2) = √ (2^2 + 2^2) = √ (4 + 4) = √8;

|AC| = √ ((4 - 0) ^2 + (1 - 1) ^2) = √ (4^2 + 0^2) = √ (16 + 0) = √16 = 4.

Проверяем выполняется ли соотношение |AC|^2 = |BA|^2 + |BC|^2:

4^2 = (√8) ^2 + (√8) ^2:

16 = 8 + 8;

16 = 16.

Так как соотношение |AC|^2 = |BA|^2 + |BC|^2 выполняется, то треугольник АВС является прямоугольным и угол АВС является прямым.

Следовательно, векторы BA и BC перпендикулярны.