Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2

Пусть дан треугольник АВС.

Так как центр описанной окружности есть середина гипотенузы, значит, гипотенуза АВ = 5 * 2 = 10.

Точка прикосновения L вписанной окружности с гипотенузой делит гипотенузу на отрезки BL = x и AL = 2 * R - x = 10 - x.

Точка прикосновения D вписанной окружности с катетом ВС делит катет на отрезки BД = x и DC = r = 2.

Точка прикосновения R вписанной окружности с катетом AС делит катет на отрезки AK = AL = 10 - x и KC = r = 2.

Найдем катеты.

С одной стороны, ВС = х + r = x + 2.

С другой стороны, по теореме Пифагора:

ВС^2 = AB^2 - AC^2 = 100 - (AK + KC) ^2 = 100 - (10 - x + 2) ^2 = 100 - (12 - x) ^2.

(х + 2) ^2 = 100 - (12 - x) ^2.

X^2 - 10 * x + 24 = 0.

(x - 5) ^2 = 1.

X - 5 = ±1.

X1 = 6.

X2 = 4.

Тогда один из катетов равен х + 2 = 4 + 2 = 6, а другой 10 - х + 2 = 10 - 4 + 2 = 8.

Площадь прямоугольного треугольника

S = ½ * BC * AC = ½ * 6 * 8 = 24.