Периметр параллелограмма равен 60 см. Найдите длины сторон, если известно, что диагональ параллелограмма делит угол на части 30°и 90°.

Введем обозначения: ABCD - параллелограмм, BD - его диагональ, В - тупой угол параллелограмма, А - острый угол.

Если диагональ BD делит угол В на части, равные 30° и 90°, то ∠В = 90° + 30° = 120°. Поскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180°, то ∠А = 180° - ∠В = 60°.

Очевидно, что диагональ BD перпендикулярна стороне АВ, следовательно треугольник АВD - прямоугольный с гипотенузой AD и катетами АВ и BD.

Противолежащие стороны параллелограмма равны друг другу, поэтому сумма двух соседних сторон равна половине периметра: АВ + AD = 60 / 2 = 30 см, AD = 30 - AB.

АВ - катет, прилежащий к углу А, отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу угла.

АВ / AD = cos A;

AB / (30 - AB) = cos 60° = 0,5.

2 * AB = 30 - AB;

3 * AB = 30;

AB = 30 / 3 = 10 см;

AD = 30 - 10 = 20 см.

Искомые длины сторон данного параллелограмма равны 10 см и 20 см.