Вычислите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равно 6 см, а боковое ребро 5 см.

Дано:

Прав. 4-угол. пирамида;

b=6 см.;

c=5 см.

S поверх. = ?

Решение:

1) Площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна сумме площадей основания и боковой поверхности:

S поверх. = S осн. + S бок.;

2) Так как пирамида является правильной четырехугольной, значит основанием пирамиды является квадрат со стороной b. Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

S осн. = b²;

S осн. = 6²=36 (кв. см.);

3) Боковая поверхность правильной пирамиды, т. е. сумма площадей всех ее боковых граней, равна произведению полупериметра основания (1/2P) на апофему (а).

S бок. = 1/2Pa;

Высота (а) боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.

Треугольник, образованный апофемой, боковым ребром и половиной основания пирамиды, является прямоугольным. По теореме Пифагора:

а²=с² - (b/2) ²;

a²=5² - (6/2) ²;

a²=5²-3²;

a²=25-9;

a²=16;

a=√16;

a=4 (см.)

Периметр основания равен периметру квадрата:

P=4b;

P=4*6=24 (см.)

Если а=4 и Р=24, тогда S бок. = 1/2Pa=1/2*4*24=2*24=48 (кв. см.);

4) Если S осн.=36 и S бок. = 48, тогда S поверх. = S осн. + S бок. = 36+48=84 (кв. см.)

Ответ: 84 кв. см.