Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 16, а её боковое ребро равно 10. Найдите площадь всей поверхности пирамиды

SABCD - правильная четырехугольная пирамида, тогда в ее основании лежит квадрат ABCD (AB = BC = CD = AD = 16), все боковые ребра равны (SA = SB = SC = SD = 10), значит, все боковые грани представляют собой одинаковые равнобедренные треугольники с длиной боковой стороны 10 и основанием равным 16.

Площадь полной поверхности пирамиды равна:

S = Sосн. + Sбок.

1. Найдем площадь основания. Площадью основания будет площадь квадрата ABCD. Площадь квадрата равна:

S = a²,

где a - длина стороны квадрата.

Sосн. = AB² = 16² = 256.

2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна:

Sбок. = Pосн.*h / 2,

где Pосн. - периметр основания, h - апофема.

2.1. Периметр квадрата равен:

P = 4a;

Pосн. = 4AB = 4*16 = 64.

2.2. Рассмотрим △ASD: SA = SD = 10, AD = 16.

Проведем высоту SH. Так как △ASD равнобедренный, то SH - и высота, и медиана: AH = DH = AD/2 = 16/2 = 8.

В △AHS по теореме Пифагора найдем длину SH:

SH = √ (SA² - AH²) = √ (10² - 8²) = √ (100 - 64) = √36 = 6.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды SABCD:

S = 256 + 64*6 / 2 = 256 + 64*3 = 256 + 192 = 448.

Ответ: S = 448.