Найдите сторону вписанного в окружность радиуса r правильного n-угольника, если около этой окружности описан правильный n-угольник со стороной равной b.

1. Радиус окружности, вписанной в правильный n-угольник находится по формуле:

r = S/p,

где S - площадь n-угольника, p - полупериметр n-угольника.

Площадь правильного n-угольника вычисляется по формуле:

S = n/4 * b² * ctg (π/n),

где b - длина стороны n-угольника, n - количество сторон.

Полупериметр правильного n-угольника равен:

p = P/2 = (n * b) / 2.

Таким образом:

r = (n/4 * b² * ctg (π/n)) : ((n * b) / 2) = (n/4 * b² * ctg (π/n)) * (2 / (n * b)) = (n * b² * ctg (π/n) * 2) / (4 * n * b) = (b * ctg (π/n)) / 2.

1. Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле:

S = (n * r² * sin (2π/n)) / 2,

где r - радиус описанной окружности.

Таким образом, площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса r, равна:

S = (n * ((b * ctg (π/n)) / 2) ² * sin (2π/n)) / 2 = (n * (b² * ctg² (π/n)) / 4 * sin (2π/n)) / 2 = (n * b² * ctg² (π/n) * sin (2π/n)) / 8.

1. Также вычислим площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса r, через его сторону:

S = n/4 * x² * ctg (π/n).

Следовательно:

(n * b² * ctg² (π/n) * sin (2π/n)) / 8 = n/4 * x² * ctg (π/n);

(n * b² * ctg² (π/n) * sin (2π/n)) / 8 = (n * x² * ctg (π/n)) / 4;

x² = (4 * n * b² * ctg² (π/n) * sin (2π/n)) / (8 * n * ctg (π/n)) (по пропорции);

x² = (b² * ctg (π/n) * sin (2π/n)) / 2.

По формулам двойного угла:

sin (2π/n) = 2 * sin (π/n) * cos (π/n).

Из определения котангенса:

ctg (π/n) = cos (π/n) / sin (π/n).

Таким образом:

x² = (b² * cos (π/n) / sin (π/n) * 2 * sin (π/n) * cos (π/n)) / 2 = b² * cos (π/n) * cos (π/n) = b² * cos² (π/n);

x = √ (b² * cos² (π/n));

x = b * cos (π/n).

Ответ: x = b * cos (π/n).