Задача 1. Найдите длину радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, если длина его стороны равна 6 см, а длина радиуса окружности, описанной вокруг этого многоугольника, равна 3√3 см. Задача 2. Правильный четырёхугольник вписан в окружность, а правильный шестиугольник описан вокруг этой окружности. Найдите отношение сторон четырёхугольника и шестиугольника.

1. Рассмотрим треугольник, образованный радиусами описанной окружности и стороной правильного многоугольника. Этот треугольник равнобедренный, высота которого, отпущенная на сторону правильного многоугольника, будет являться стороной вписанной окружности.

Рассмотрим треугольник, образованный радиусами вписанной и описанной окружностей и половиной стороны правильного многоугольника (высота в равнобедренном треугольнике является одновременно и медианой). Данный треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора:

R² = r² + (a/2) ²,

Где R - радиус описанной окружности;

r - радиус вписанной окружности;

а - сторона многоугольника.

Тогда r=√ (R^2) - (6/2) ²

r=√ ((3√3) ^2) - 3^2

r=√27-9

r=√18

r=3√2 (см.)

Ответ: 3√2 см.

2. Строну правильного четырехугольника, вписанного в окружность, можно выразить по формуле:

а1=R√2

Строну правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, можно выразить по формуле:

а2=2R/√3

Тогда отношение сторон четырёхугольника и шестиугольника равно:

a1/a2 = R√2 ∶ (2R/√3) = (R√2*√3) / 2R = √3/2

Обратите внимание корень относится к 3/2

Ответ: √3/2