В равнобедренной трапеции длины оснований равны 6 см и 4 см, а длина высоты - 4 см. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции. Известно, что центр окружности лежит внутри трапеции.

Из точек В и С проведем параллельные перпендикуляры ВН и СК (высоты), тогда четырехугольник НВСК - квадрат, так как ВН = СК = 4 см и ВС = НК = 4 см.

Отрезки АН и KD будут равны:

АН = KD = (АD - НК) / 2 = (6 - 4) / 2 = 2/2 = 1 (см).

Треугольники АНВ и DKC равные. Рассмотрим треугольник АНВ: ВН = 4 см - высота, поэтому угол АНВ = 90 градусов, следовательно АН = 1 см и ВН = 4 см - катеты, АВ - гипотенуза. По теореме Пифагора:

АВ = √ (AH^2 + BH^2)

АВ = √ (1^2 + 4^2) = √ (1 + 16) = √17 (см).

Радиус окружности, описанной равнобедренной этой трапеции, вычисляется по формуле:

R = c√ ((ab + c^2) / (4c^2 - (a - b) ^2)),

где а - большее основание, b - меньшее основание, с - боковая сторона.

Радиус окружности, описанной около трапеции, данной по условию, равен:

R = √17 * √ ((6*4 + (√17) ^2) / (4 * (√17) ^2 - (6 - 4) ^2)) = √17 * √ ((24 + 17) / (4*17 - 2^2)) = √17 * √ (41 / (68 - 4)) = √17 * √ (41/64) = √17*√41 / √64 = √17*√41 / 8 = √697 / 8 (см).

Ответ: R = √697 / 8 см.