Докажите, что площадь правильного многоугольника можно вычеслить по формуле S=2√3r^2 где r радиус вписанной окружности

1. Точка О - центр окружности, вписанной в шестиугольник. Соединим его с двумя вершинами

(А и В). Получим равносторонний треугольник АОВ. АВ = r.

2. Из точки О проведем высоту ОЕ.

3. Рассмотрим треугольник ОАЕ. Треугольник прямоугольный, так как ∠АЕО = 90.°

4. АО² = АЕ² + ОЕ² (по теореме Пифагора).

АЕ = АВ/2 = АО/2.

АО² = АО²/4 + r².

3 АО²/4 = r².

АО² = 4r²/3.

АО = 2 r/√3. АВ = 2 r/√3.

5. Вычисляем площадь треугольника АОВ:

S = АВ х ОЕ/2 = 2 r²/√3.

6. Вычисляем площадь шестиугольника, учитывая, что она в 6 раз больше площади

треугольника АОВ:

S = 6 х 2 r²/√3 = 2 r²√3, что и требовалось доказать.

Ответ: S = 2 r²√3.