В правильной треугольной пирамиде SABC-точка О-точка пересечения медиан основания АВС, построить сечение пирамиды плоскостью, которое проходит через точку О параллельно плоскости ASC, найти тогда площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны а?

По условию, все рёбра в пирамиде равны а, значит все треугольники равносторонние. Треугольник АВС - равносторонний и АВ = ВС = АС = а. А тоска пересечения медиан О - центр этого треугольника. Пусть сечение пирамиды DKF, где точка D лежит на АВ, точка F на ВС, а точка К на BS. Так как сечение DKF параллельно АВС, значит DF - средняя линия треугольника АВС и равна DF = a/2. Остальные стороны также параллельны треугольнику АВС, значит треугольники АВС и DKF подобны. Из подобия треугольников, запишем:

AC/DF = AS/DK, AS = a, то есть, 2 = a/DK, DK = FK = a/2.

Площадь S треугольника DKF равна (углы треугольника равны 60 градусов):

S = ½ * (a^2 * sin60) = ½ * a^2 * √3/2 = a^2 * √3/4. - площадь сечения.