Через середину о диагонали ac прямоугольника abcd проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках P и K соответственно. 1) Докажите, что APCK - паралелограм. 2) Найдите площадь APCK, если AK=4, KD=8 и AC=13. 3) Найдите PK. 4) С помощью микро калькулятора найдите угол AOK.

Question

Александра Сидорова

Геометрия

22 сентября, 16:13

Через середину о диагонали ac прямоугольника abcd проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках P и K соответственно. 1) Докажите, что APCK - паралелограм. 2) Найдите площадь APCK, если AK=4, KD=8 и AC=13. 3) Найдите PK. 4) С помощью микро калькулятора найдите угол AOK.

+1

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Максим Сидоров · Answer 1

Задание 1.

Пусть дан прямоугольник ABCD, его диагональ АС делится точкой О на два равных отрезка АО=ОС=АС/2. Через т. О проведена прямая, которая пересекает ВС в т Р и AD в точке К, докажем, что АРСК - параллелограмм.

Признаком того, что четырехугольник - параллелограмм является то, что его диагонали пересекаясь, делят друг друга пополам. У нас АС делится пополам, докажем, что РК, тоже делится пополам, РК/2=РО=ОК.

1. Рассмотрим треугольники АОК и РОС, АО=ОС,
Треугольники АОК и РОС - равные, по второму признаку равенства треугольников: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит: АК=РС, ОК=РО.

2. У нас АО=ОС, ОК=РО, значит обе диагонали делятся пополам, значит это параллелограмм.

Задание 2.

Найдем площадь параллелограмма АРСК. По свойству параллелограмма, его диагональ делит на два равных треугольника, АКС=АРС, а значит S АРСК = 2*S АКС.

Рассмотрим треугольник АКС, АК=4 см, АС=13 см, найдем сторону КС.

Рассмотрим треугольник АСD он прямоугольный,
CD=√ (АС²-AD²) = √ (13²-12²) = √ (169-144) = √25=5 см.

Рассмотрим треугольник CKD, он прямоугольный,
КС=√ (KD²+CD²) = √ (8²+5²) = √ (64+25) = √89=9,44 см.

Вернемся к треугольнику АКС, АК=4 см, АС=13 см, КС=9,44 см., по теореме Герона:

S=√ (p (p-АК) (р-АС) (р-КС)), найдем полупериметр:

p = (АК+АС+КС) / 2 = (4+13+9,44) / 2=13,22 см.

Найдем площадь:

S=√ (p (p-АК) (р-АС) (р-КС)) = √ (13,22 * (13,22-4) (13,22-13) (13,22-9,44)) = 10 см².

Найдем площадь параллелограмма АРСК:

S АРСК = 2*S АКС=2*10=20 см².

Ответ: площадь параллелограмма АРСК 20 см².

Задание 3.

По свойству диагоналей параллелограмма, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

PK²+AC²=2AK²+2CK².

PK=√ (2AK²+2CK²-AC²) = √ (2*4²+2 * (√89) ²-13²) = √41 см.

Ответ: РК=√41 см или 6,4 см.

Задание 4.

Площадь параллелограмма определяется по формуле:

S = (d1*d1*sin ɣ) / 2 = (AC*PK*sin AOK) / 2.

Выразим из этого выражения синус угла:

sin AOK=2*S / (AC*PK) = 2*20 / (13*6,4) = 0,48.

Возьмем арксинус, для определения градусной меры угла::

arcsin (0,48) = 29°.

Ответ: