Апофема правильной трехугольной пирамиды равны 13 см а высота 15 см найти объем

Высота не может быть больше апофемы (высота - катет, апофема - гипотенуза). Решим задачу, при условии, что высота 12 см.

Объём правильной треугольной пирамиды находится по формуле:

V = h * a² / 4√3.

Высота у нас есть по условию задачи, надо найти сторону.

Обозначим данную пирамиду SABC, SO - высота пирамиды, SH - апофема.

В прямоугольном треугольнике SOH находим катет ОН:

ОН = √ (SH² - SO²) = √ (169 - 144) = √25 = 5 (см).

ОН - это радиус вписанной в правильный треугольник окружности.

r = a / 2√3 → a = r * 2√3 = 10√3 (cм).

Все данные есть, находим объём:

V = h * a² / 4√3 = 12 * (10√3) ² / 4√3 = 300√3 (см³).

Ответ: объём пирамиды 300√3 см³.