На стороне KM треугольника KMN выбрана точка L так, что KL:LM=2:5. Через точку L параллельно сторонам KN и MN проведены отрезки, концы которых лежат на сторонах MN и KN. Найдите длины этих отрезков, если MN=7, KN=21.

Решение.

Пусть дан треугольник KMN, на стороне KM которого выбрана точка L так, что KL : LM = 2 : 5. Введём коэффициент пропорциональности k, тогда KL = 2 ∙ k; LM = 5 ∙ k; КМ = KL + LM; КМ = 2 ∙ k + 2 ∙ k = 7 ∙ k. Стороны треугольника MN = 7, KN = 21. Причём через точку L параллельно сторонам KN и MN проведены отрезки, концы которых лежат на сторонах MN и KN - точки В и А соответственно. Получаем, что Δ LMВ ∽ Δ KМN и Δ KL А ∽ Δ KМN поскольку образованы прямыми, параллельными сторонам треугольника. Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны:

LM : КМ = LВ : KN и

KL : КМ = КА : KN;

или (5 ∙ k) / (7 ∙ k) = LВ/21 и

(2 ∙ k) / (7 ∙ k) = LА/7.

Решив пропорции, получим:

LВ = 15;

LА = 2.

Ответ: длины образовавшихся отрезков LВ = 15; LА = 2.