В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90 градусов. AB = 10 см, угол ВАС = 60 градусов. Найти ВС и высоту CD, проведённую к гипоттенузе.

Острый угол А известен по условию, находим угол В:

∠ ABC = 90° - ∠ BAC = 30°.

Напротив этого угла лежит катет АС, следовательно, он равен 1/2 АВ = 5 см.

Катет ВС находим по теореме Пифагора:

BC = √ (AB² - AC²) = √ (100 - 25) = √75 = 5√3 (см).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и ACD, треугольники имеют общий острый угол А, значит, они подобны.

Из подобия треугольников следует отношение сторон:

AB / AC = BC / CD → CD = AC * BC / AB = 5 * 5√3 / 10 = 5√3/2 (см).

Ответ: катет ВС равен 5√3 см, высота CD равна 5√3/2 см.