Дан треугольник PEF со сторонами РЕ = 3, PF = 5, EF = 7. На продолжении стороны FP за точку Р отложен отрезок РА = 1,5. Найти расстояние d между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ЕРА и EAF. В ответе указать число, равное 2d.

Для решения данной задачи, сначала вычислим косинус угла F.

cos (F) = (5² + 7² - 3²) / (2 * 5 * 7) = 13/14.

Квадрат длины |AE| найдём по готовой формуле.

AE² = 7² + (6.5) ² - 2 * 7 * 6.5 * 13/14 = 27/4.

AE = 3/2 * √3.

Очевидно, что |AE|² + |AP|² = |EP|², APE - является прямоугольным треугольником. Центр описанной около треугольника APE круга, находится точно, по середине гипотенузы |PE|. Вокруг треугольника EAF - на середине отрезка |EF|.

Длина, соединяющая центры окружностей - является средней линией треугольника PEF;

d = 5/2 = 2,5.

2d = 5.