Основания трапеции 2 см и 7 см, а её диагонали равны 10 и 17 см. Найти площадь.

Пусть ABCD - трапеция: AD = 7 см и BC = 2 см - основания, AC = 10 см и BD = 17 см - диагонали.

1. Из вершины B проведем высоту BH.

В △BHD по теореме Пифагора выразим BH:

BH = √ (BD² - DH²).

Так как AD точкой H делится на два отрезка AH и DH, то:

DH = AD - AH.

Таким образом:

BH = √ (BD² - (AD - AH) ²) = √ (17² - (7 - AH) ²) = √ (289 - (7 - AH) ²) = √ (289 - (49 - 14AH + AH²)) = √ (289 - 49 + 14AH - AH²) = √ (240 + 14AH - AH²).

2. Из вершины C проведем высоту CK.

В △CKA по теореме Пифагора выразим CK:

CK = √ (AC² - AK²).

Так как AD точкой K делится на два отрезка AK и DK, то:

AK = AD - DK.

Таким образом:

CK = √ (AC² - (AD - DK) ²) = √ (10² - (7 - DK) ²) = √ (100 - (49 - 14DK + DK²)) = √ (100 - 49 + 14DK - DK²)) = √ (51 + 14DK - DK²).

3. AD точками H и K делится на три отрезка AH, HK, DK:

AD = AH + HK + DK.

Так как BH и CK перпендикулярны параллельным прямым, то они параллельны между собой. Четырехугольник HBCK является прямоугольником со сторонами BH = CK и BC = HK.

Так как BC = HK, то HK = 2 см.

Значит:

AH + 2 + DK = 7;

AH + DK = 7 - 2;

AH + DK = 5.

Так как BH = CK, то:

√ (240 + 14AH - AH²) = √ (51 + 14DK - DK²).

4. Мы получили систему уравнений с двумя неизвестными:

√ (240 + 14AH - AH²) = √ (51 + 14DK - DK²);

AH + DK = 5.

Во втором уравнении системы выразим AH через DK:

AH = 5 - DK.

Полученное выражение подставим в первое уравнение системы и решим уравнение с одной неизвестной:

√ (240 + 14 (5 - DK) - (5 - DK) ²) = √ (51 + 14DK - DK²) (возведем обе части уравнения в квадрат);

(√ (240 + 70 - 14DK - 25 + 10DK - DK²) ² = (√ (51 + 14DK - DK²)) ²;

- DK² - 4 DK + 285 = - DK² + 14DK + 51 (перенесем все слагаемые с неизвестной в левую сторону уравнения, а все натуральные слагаемые - в правую);

- DK² + DK² - 4 DK - 14DK + 285 - 51 = 51 - 285 (приведем подобные слагаемые);

- 18DK = - 234;

DK = (-234) / (-18);

DK = 13.

5. Найдем длину CK:

CK = √ (51 + 14*13 - 13²) = √ (51 + 182 - 169) = √ 64 = 8 (см).

6. Площадь трапеции находится по формуле:

S = (a + b) * h/2,

где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

S = (7 + 2) * 8/2 = 9*8 / 2 = 9*4 = 36 (см²).

Ответ: S = 36 см².