В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Как доказать, что AC^2+BD^2=4R^2

Построим из точки С диаметр СК окружности.

Так как угол САК опирается на диаметр окружности, то треугольник САК прямоугольный, тогда, по теореме Пифагора, АС² + АК² = СК² = (2 * R) ² = 4 * R².

Докажем что хорда ВД равна хорде АК.

Так как АВ перпендикулярен СД, то сумма дуг (АС + ВД) = 180⁰.

Так как СК диаметр окружности, то сумма дуг (АС + АК) = 180⁰.

Тогда дуга ВД = АК, а следовательно хорда АК = ВД, а следовательно: АС² + ВД² = 4 * R², что и требовалось доказать.