Диагональ правильной 4-угольной призмы равна 6 см, а боковая поверхность 32 см2 Найдите объем призмы

Диагональ правильной призмы D - это гипотенуза треугольника, катетами которого являются высота призмы и диагональ квадрата, лежащего в основании призмы.

Пусть а - сторона квадрата в основании призмы; b - высота призмы. Искомый объем призмы равен: a*a*b.

Зная площадь всей боковой поверхности призмы (в нее не входят площади оснований) получим площадь одной боковой стороны, причем последняя является произведением a на b:

a*b=32/4=8 см кв.

Теперь найдем диагональ квадрата, лежащего в основании призмы, вычислив ее по теореме Пифагора:

Диагональ квадрата=sqrt (a^2+a^2) = sqrt (2a^2) = a*sqrt (2)

Повторно воспользуемся теоремой Пифагора и опишем треугольник, гипотенузой которого является диагональ призмы.

(a*sqrt (2)) ^2+b^2=D^2, или

2a^2+b^2=36

Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

(1) a*b=8

(2) 2a^2+b^2=36

Решаем эту систему:

(a*b) ^2=64

b^2=64/a^2

Подставляем во второе уравнение:

2a^2+64/a^2=36

2a^4+64=36*a^2

2a^4-36*a^2+64=0

a^4-18*a^2+32=0

Заменим a^2 на р, получим:

p^2-18*p^2+32=0

Находим корни: p1=16, p2=2

Откуда: a1=4, a2 = (-4), a3=sqrt2, a4 = - (sqrt2). Нас устраивают только положительные корни a1=4 и a3=sqrt2. Из первого уравнения находим b: b1=8/4=2; b2=8/sqrt2=4*sqrt2

Таким образом, задача имеет два решения. Найдем объемы призмы для обоих вариантов:

V = a*a*b

1. V=16*2=32 см куб.

2. V=2*4*sqrt2=8*sqrt2 см куб.