В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Все боковые грани наклонены к поверхности основания под углом 45°. Найдите объём пирамиды.

Находим площадь основания пирамиды:

S = 1/2 * a * b = 1/2 * 12 * 5 = 30.

По условию боковые грани наклонены под углом 45°, это означает, что основание высоты пирамиды совпадает с центром вписанной окружности.

Воспользуемся другой формулой площади треугольника и найдем радиус вписанной окружности:

S = p * r → r = S / p.

p = (a + b + c) / 2.

Находим гипотенузу:

с = √ (144 + 25) = √169 = 13.

р = (12 + 5 + 13) / 2 = 15.

r = S / p = 30 / 15 = 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором катеты - это высота пирамиды и радиус списанной окружности, а гипотенуза - апофема. Угол между радиусом и апофемой равен 45°, значит, треугольник равнобедренный:

r = h = 2.

V = 1/3 * S * h = 30 * 2 / 3 = 20.

Ответ: объём пирамиды 20 кубических единиц.