В трапеции ABCD АB = CD угол BDA=49 градусам и угол BDC=13 градусов. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Дано:

равнобедренная трапеция ABCD,

АB = CD,

угол BDA = 49 градусов,

угол BDC = 13 градусов.

Найдите градусную меру угла ABD - ?

Решение:

1. Рассмотрим угол D. Угол D = угол СDВ + угол ВDА = 13 + 49 = 62 градуса.

2. Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. У нее углы при основании равны между собой, то есть угол А = углу D = 62 градуса.

3. Рассмотрим треугольник АВD. Мы знаем, что сумма градусных мер углов треугольника равна 180 градусов, то есть

угол ВАD + угол АDВ + угол АВD = 180;

62 + 49 + угол АВD = 180;

111 + угол АВD = 180;

угол АВD = 180 - 111;

угол АВD = 69 градусов.

Ответ: 69 градусов.

Возьмем трапецию ABCD с основаниями AD и BC, и пусть |AD| > |BC|. Боковыми сторонами данной трапеции будут AB и CD. Проведем в трапеции диагональ BD. По условию данной задачи:

∠BDA = 49°;

∠BDC = 13°;

|AB| = |CD|;

Для решения задачи требуется вычислить в градусах величину угла ABD.

Свойства углов в равнобедренной трапеции ABCD

По условию задачи боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны между собой. Это означает, что данная трапеция ABCD является равнобедренной. Соответственно, основными свойствами углов равнобедренной трапеции являются:

углы при нижнем основании трапеции ∠ADC и ∠DAB равны между собой; углы при верхнем основании трапеции ∠ABC и ∠DCB равны между собой; суммы противолежащих углов одинаковые и равны 180°, или иначе ∠ADC + ∠ABC = ∠DAB + ∠DCB = 180°.

Для решения задачи будем далее рассматривать треугольник DBA.

Вычисление искомого угла ABD

Сумма внутренних углов треугольника DBA равна 180°:

∠ABD + ∠DAB + ∠BDA = 180°;

Найдем величину угла ∠DAB:

∠DAB = ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 49° + 13° = 62°;

Далее получаем:

∠ABD + ∠DAB + ∠BDA = ∠ABD + 62° + 49° = 180°;

∠ABD = 180° - 62° - 49°;

∠ABD = 69°;

Проверим полученный результат. Углы ∠BDA и ∠DBC равны как накрест лежащие:

∠DBC = ∠BDA = 49°;

Далее, из треугольника BCD получаем:

∠DCB = 180° - ∠DBC - ∠BDC = 180° - 49° - 13° = 118°;

По одному из свойств равнобедренной трапеции сумма углов ∠ABD и ∠DBС должны равняться углу ∠DCB:

∠ABD + ∠DBС = 69° + 49° = 118° = ∠DCB,

что и требовалось проверить.

Ответ: искомый угол ABD равен 69°.