В треугольнике abc угол a равен 45 градусов, а высота bd 2 см, найдите площадь треугольника, если прямая bc составляет с прямой ad угол 60 градусов.

1. Рассмотрим треугольник ABD: угол BDA = 90 градусов (так как BD - высота, то есть перпендикуляр), угол А = 45 градусов (по условию). Найдем угол ABD:

угол ABD + угол BDA + угол А = 180 градусов (по теореме о сумме углов треугольника);

угол ABD + 90 + 45 = 180;

угол ABD = 180 - 135;

угол ABD = 45 градусов.

Так как в треугольнике ABD угол А = угол ABD, то ABD - равнобедренный треугольник, а углы А и ABD - углы при основании АВ. Тогда стороны AD и BD - боковые стороны, то есть AD = BD = 2 см.

2. Рассмотрим треугольник BDC: угол СDВ = 90 градусов (так как BD - высота, то есть перпендикуляр), угол ВСD = 60 градусов (по условию). Найдем угол DBC:

угол DBC + угол ВСD + угол СDВ = 180 градусов (по теореме о сумме углов треугольника);

угол DBC + 60 + 90 = 180;

угол DBC = 180 - 150;

угол DBC = 30 градусов.

3. Так как в угол DBC = 30 градусов, то катет DC равен половине гипотенузы ВС, а гипотенуза ВС = 2*DC. Тогда:

(2*DC) ^2 = BD^2 + DC^2;

4DC^2 = 4 + DC^2;

4DC^2 - DC^2 = 4;

3DC^2 = 4;

DC^2 = 4/3;

DC = √4/3;

DC = 2/√3 = 2√3 / 3 (см).

4. Сторона АС равна:

АС = AD + DC;

АС = 2 + 2√3 / 3 = (6 + 2√3) / 3 (см).

4. Площадь найдем по формуле:

S = 1/2 * bh,

S = 1/2 * ((6 + 2√3) / 3) * 2 = (6 + 2√3) / 3 (см).

Ответ: S = (6 + 2√3) / 3 см.

4 * корень из 3