Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = 3 и АС = 4. Ромб ВDЕF расположен в треугольнике АВС, вершина В общая, а остальные три вершины ромба лежат на трёх сторонах треугольника АВС. Найти сторону ромба.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ как корень из суммы квадратов катетов: АВ = √ (АС^2 + BC^2) = √ (4^2 + 3^2) = √ (16+9) = √25 = 5.

Отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу угла: cos B = BC/AB = 3/5 = 0,6.

Если вершина В общая, то две прилежащие к ней стороны ромба принадлежат сторонам треугольника. Пусть сторона ромба BF является частью катета ВС, а сторона ромба BD - часть гипотенузы АВ, вершина ромба Е лежит на стороне треугольника АС. Противолежащие стороны ромба ED и ВF параллельны, следовательно сторона ромба ED параллельна стороне треугольника СВ. Треугольники AED и АСВ подобны, т. к. вершина А - общая, стороны АЕ и АС, АD и АВ совпадают друг с другом, значит углы В и ADE равны, тогда cos B = cos ADE = 0,6.

Пусть сторона ромба равна х, тогда из треугольника AED:

ED/AD = cos ADE;

ED / (AB-BD) = x / (AB-x) = x / (5-x) = 0,6;

x = (5-x) * 0,6;

x = 3-0,6x;

1,6x = 3;

x = 3/1,6 = 1,875.

Искомая сторона ромба равна 1,875.