В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а две оставшиеся - на его боковых сторонах. Найти сторону квадрата. В ответе получается 6, 12.

Пусть дан треугольник АБС, БН = 8 см - высота треугольника, К - точка пересечения квадрата со стороной АБ, Л - точка пересечения БН со стороной квадрата.

Обозначим Х - сторона квадрата.

Очевидно, что треугольники АБН и КБЛ подобны, так как КБЛ имеет равные углы с АБН.

Запишем свойство пропорциональности подобных треугольников:

БН/БЛ = АН/КЛ = k.

АН = АС/2 = 6, КЛ = Х/2, БЛ = 8 - Х.

Тогда,

8 / (8 - Х) = 6 / (Х/2).

8 * Х = 12 * (8 - Х).

8 * Х = 96 - 12 * Х.

20 * Х = 96.

Х = 4,8 (см).

Сторона квадрата равна 4,8 см.