В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части, длины которых равны 6 см и 4 см. Найти площадь данного треугольника.

Треугольник АВС - прямоугольный, угол С = 90 градусов. Окружность, вписанная в АВС, касается стороны АВ в точке К, стороны АС в точке М, стороны ВС в точке Р, АК = 6 см, ВК = 4 см.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны, следовательно:

АМ = АК = 6 см;

ВК = ВР = 4 см;

СМ = СР = х.

Так как АВ лежит напротив угла С, тогда АВ - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

АВ^2 = AC^2 + BC^2.

АВ состоит из отрезков АК и ВК, тогда АВ = 6 + 4 = 10 (см).

АС состоит из отрезков АМ и СМ, тогда: АС = АМ + СМ = 6 + х.

ВС состоит из отрезков ВР и СР, тогда: ВС = ВР + СР = 4 + х.

Подставим известные значения в выражение по теореме Пифагора и найдем длину х:

10^2 = (6 + x) ^2 + (4 + x) ^2;

36 + 12 х + x^2 + 16 + 8x + x^2 = 100;

2x^2 + 20 х - 48 = 0;

x^2 + 10 х - 24 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Дискриминант:

D = b^2 - 4ac;

D = 10^2 - 4*1 * (-24) = 100 + 96 = 196.

x = (-b + / - √D) / 2a.

x1 = (-10 + √196) / 2*1 = (-10 + 14) / 2 = 4/2 = 2.

x2 = (-10 - √196) / 2*1 = (-10 - 14) / 2 = - 24/2 = - 12 - данное значение не удовлетворяет смыслу задачи.

Следовательно:

СМ = СР = 2 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S = (AC*BC) / 2;

S = (6 + 2) (4 + 2) / 2 = 8*6 / 2 = 48/2 = 24 (см^2).

Ответ: S = 24 см^2.