В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части, длины которых равны 6 см и 4 см. Найти площадь данного треугольника.

0
Ответы (1)
  1. 26 апреля, 10:23
    0
    Треугольник АВС - прямоугольный, угол С = 90 градусов. Окружность, вписанная в АВС, касается стороны АВ в точке К, стороны АС в точке М, стороны ВС в точке Р, АК = 6 см, ВК = 4 см.

    Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны, следовательно:

    АМ = АК = 6 см;

    ВК = ВР = 4 см;

    СМ = СР = х.

    Так как АВ лежит напротив угла С, тогда АВ - гипотенуза.

    По теореме Пифагора:

    АВ^2 = AC^2 + BC^2.

    АВ состоит из отрезков АК и ВК, тогда АВ = 6 + 4 = 10 (см).

    АС состоит из отрезков АМ и СМ, тогда: АС = АМ + СМ = 6 + х.

    ВС состоит из отрезков ВР и СР, тогда: ВС = ВР + СР = 4 + х.

    Подставим известные значения в выражение по теореме Пифагора и найдем длину х:

    10^2 = (6 + x) ^2 + (4 + x) ^2;

    36 + 12 х + x^2 + 16 + 8x + x^2 = 100;

    2x^2 + 20 х - 48 = 0;

    x^2 + 10 х - 24 = 0.

    Решим квадратное уравнение.

    Дискриминант:

    D = b^2 - 4ac;

    D = 10^2 - 4*1 * (-24) = 100 + 96 = 196.

    x = (-b + / - √D) / 2a.

    x1 = (-10 + √196) / 2*1 = (-10 + 14) / 2 = 4/2 = 2.

    x2 = (-10 - √196) / 2*1 = (-10 - 14) / 2 = - 24/2 = - 12 - данное значение не удовлетворяет смыслу задачи.

    Следовательно:

    СМ = СР = 2 см.

    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

    S = (AC*BC) / 2;

    S = (6 + 2) (4 + 2) / 2 = 8*6 / 2 = 48/2 = 24 (см^2).

    Ответ: S = 24 см^2.
Знаешь ответ на этот вопрос?
Новые вопросы по геометрии
Задача в равнобедренном треугольнике боковая сторона на 20 см высота опущенная на основание 16 см найдите основание
Ответы (1)
Дан параллелограмм АВСD, АВ=12 см, AC=16 см. Вершина D удалена от диагонали АС на 4 см. Вычислите расстояние от точки D до прямой АВ
Ответы (1)
Найдите углы треугольника ABC, если A:B:C=2:3:4
Ответы (1)
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Через середину его гипотенузы проведены две прямы, параллельные катетам. Найдите площадь четырехугольника, отсекаемого данными прямыми от треугольника.
Ответы (1)
Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12 найдите его площадь
Ответы (1)
В равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 96 градусов. Найдите углы трапеции.
Ответы (1)
У треугольника равны две стороны и каждая из них составляет 2/7 его периметра. Третья сторона равна 21 см. Найдите периметр данного треугольника.
Ответы (1)
В треугольнике MPK проведены высоты MO и PH. Найдите угол MPOи KPH. если даны два угла: угол MKP=40 градусов угол KMP=30 градусов
Ответы (1)
Периметр параллелограмма равен 60. Одна сторона параллелограмма на 7 больше другого. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Ответы (1)
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 32 и 4
Ответы (1)