Задать вопрос

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части, длины которых равны 6 см и 4 см. Найти площадь данного треугольника.

+5
Ответы (1)
  1. 26 апреля, 10:23
    0
    Треугольник АВС - прямоугольный, угол С = 90 градусов. Окружность, вписанная в АВС, касается стороны АВ в точке К, стороны АС в точке М, стороны ВС в точке Р, АК = 6 см, ВК = 4 см.

    Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны, следовательно:

    АМ = АК = 6 см;

    ВК = ВР = 4 см;

    СМ = СР = х.

    Так как АВ лежит напротив угла С, тогда АВ - гипотенуза.

    По теореме Пифагора:

    АВ^2 = AC^2 + BC^2.

    АВ состоит из отрезков АК и ВК, тогда АВ = 6 + 4 = 10 (см).

    АС состоит из отрезков АМ и СМ, тогда: АС = АМ + СМ = 6 + х.

    ВС состоит из отрезков ВР и СР, тогда: ВС = ВР + СР = 4 + х.

    Подставим известные значения в выражение по теореме Пифагора и найдем длину х:

    10^2 = (6 + x) ^2 + (4 + x) ^2;

    36 + 12 х + x^2 + 16 + 8x + x^2 = 100;

    2x^2 + 20 х - 48 = 0;

    x^2 + 10 х - 24 = 0.

    Решим квадратное уравнение.

    Дискриминант:

    D = b^2 - 4ac;

    D = 10^2 - 4*1 * (-24) = 100 + 96 = 196.

    x = (-b + / - √D) / 2a.

    x1 = (-10 + √196) / 2*1 = (-10 + 14) / 2 = 4/2 = 2.

    x2 = (-10 - √196) / 2*1 = (-10 - 14) / 2 = - 24/2 = - 12 - данное значение не удовлетворяет смыслу задачи.

    Следовательно:

    СМ = СР = 2 см.

    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

    S = (AC*BC) / 2;

    S = (6 + 2) (4 + 2) / 2 = 8*6 / 2 = 48/2 = 24 (см^2).

    Ответ: S = 24 см^2.
Знаешь ответ на этот вопрос?
Сомневаешься в правильности ответа?
Получи верный ответ на вопрос 🏆 «В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части, длины которых равны 6 см и 4 см. ...» по предмету 📕 Геометрия, используя встроенную систему поиска. Наша обширная база готовых ответов поможет тебе получить необходимые сведения!
Найти готовые ответы
Похожие вопросы геометрии
в прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.
Ответы (1)
В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 2 см. Точка касания делит гипотенузу на два отрезка длиной 5 см и 3 см. Найдите периметр треугольника. Ответ
Ответы (1)
В прямоугольный треугольник вписана окружность Точка касания делит гипотенузу на отрезки 3 сантиметра и 2 сантиметра найдите радиус этой окружности
Ответы (1)
Часть 1. 1. Какое утверждение относительно треугольника со сторонами 12,9,15 верно? а) треугольник остроугольный; б) треугольник тупоугольный; в) треугольник прямоугольный; г) такого треугольника не существует. 2.
Ответы (1)
1. В треугольнике МPК, вписана окружность, О - её центр. Угол М равен 50 градусам, угол К равен 70 градусам. Вычислите градусные меры угла МОК, МОР, РОК. 2. В треугольнике МПК вписана окружность, О - её центр. А, B, С - точки касания.
Ответы (1)