в прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

Обозначим данный прямоугольный треугольник АВС, угол С - прямой, АВ - гипотенуза, точка О - центр окружности, Н - точка касания вписанной окружности на гипотенузе, точка Е - на катете АС, точка К - на катете ВС.

АН = 5 см, НВ = 12 см.

По свойству касательных получаем равенство отрезков:

АН = АЕ = 5 см;

НВ = ВК = 12 см.

ОКСЕ - квадрат со стороной равной r.

ВС = ВК + КС = 12 + r

АС = АЕ + ЕС = 5 + r

АВ = АН + НВ = 5 + 12 = 17

Записываем теорему Пифагора в данном треугольнике.

17² = (12 + r) ² + (5 + r) ²

2r² + 34r - 120 = 0

r² + 17 - 60 = 0

D = 529, D > 0, два корня уравнения.

r₁ = - 20, r₂ = 3, отрицательный корень не подходит.

ЕС = КС = 3 см.;

АС = 8 см;

ВС = 15 см.

Находим периметр треугольника АВС:

P _ABC = 17 + 8 + 15 = 40 (см).

Ответ: 40 см.