Площадь прямоугольного треугольника равна 8√2, а острый угол 22,5°. Найдите гипотенузу

Обозначим через а и b катеты данного прямоугольного треугольника.

В исходных данных к данному заданию сообщается, что площадь данного прямоугольного треугольника составляет 8√2, следовательно, имеет место следующее соотношение:

а * b / 2 = 8√2.

Также в условии задачи сказано, что острый угол треугольника равен 22.5°, следовательно, имеет место следующее соотношение:

а = b * tg (22.5°).

Подставляя данное значение а = b * tg (22.5°) в уравнение а * b / 2 = 8√2, получаем:

b * tg (22.5°) * b / 2 = 8√2;

b^2 * tg (22.5°) / 2 = 8√2;

b^2 = 16√2 / tg (22.5°) = 16√2 * ctg (22.5°).

Найдем а^2:

а^2 = (b * tg (22.5°)) ^2 = b^2 * tg^2 (22.5°) = 16√2 * ctg (22.5°) * tg^2 (22.5°) = 16√2 * tg (22.5°).

Используя теорему Пифагора, находим гипотенузу:

√ (а^2 + b^2) = √ (16√2 * tg (22.5°) + 16√2 * ctg (22.5°)) = 4√ (√2 * tg (22.5°) + √2 * ctg (22.5°)) = 4√ (√2 / (sin (22.5°) * cos (22.5°)) = 4√ (2√2 / sin (45°)) = 4√ (2√2 / (√2/2)) = 4√4 = 4 * 2 = 8.

Ответ: 8.