В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC=25 см, AC=14. Вычислите радиус круга, касающегося BC в точке D - основании высоты AD и проходящего через середину AC

Полученная окружность является вписанной в треугольник АВС.

Докажем это.

Пусть О - центр окружности, K - середина стороны АС.

Радиусы вписанной окружности перпендикулярны касательным.

А по условию радиус OD = r перпендикулярна касательной ВС, OK = r перпендикулярна АС, и окружность проходит через середину АС.

Доказано.

По свойству окружности в равнобедренном треугольнике DC = KC = AC/2 = 7 см.

В прямоугольном треугольнике ВKС:

ВЕ = (ВС^2 - KC^2) ^ (1/2) = (625 - 49) ^ (1/2) = √576 = 24 см.

В треугольнике OBD по теореме Пифагора:

OD^2 = r^2 = ВO^2 - BD^2 = (ВЕ - r) ^2 - (BC - DC) ^2.

BD = BC - DC = 25 - 7 = 18 см.

r^2 = (24 - r) ^2 - (18) ^2.

r^2 = 24^2 - 48 * r + r^2 - (18) ^2.

48 * r = 576 - 324 = 252.

r = 252/48 = 5.25 см.